Моделирование коррелированных гауссовых СВ — различия между версиями

Версия 14:46, 21 августа 2013

При моделировании следящих систем НАП, а так же сигналов многоантенных НАП, возникает задача создания нормальных случайных величин с заданным коэффициентом корреляции.

Многомерная нормальная СВ или вектор случайных величин?

При синтезе радиотехнических систем часто используются модели, оперирующие с многомерными нормальными случайными величинами. Определение из Википедии:

Случайный вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n$ имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
Произвольная линейная комбинация компонентов вектора $\sum\limits_{i=1}^n a_i X_i$ имеет нормальное распределение или является константой.
Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин $\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots, Z_m)^{\top}$ , вещественный вектор $\mathbf{\mu} = (\mu_1,\ldots, \mu_n)^{\top}$ и матрица $\mathbf{A}$ размерности $n \times m$ , такие что:

$\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}$ .

Существует вектор $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n$ и неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma}$ размерности $n \times n$ , такие что характеристическая функция вектора $\mathbf{X}$ имеет вид:

$\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$ .

Из первого условия следует, что каждая из компонент нормальной векторной СВ имеет нормальное распределение (для компоненты $i$ это вытекает при $a_i = 1$ и остальных коэффициентах комбинации, равных 0). Отсюда часто возникает иллюзия, что нормальность распределений компонент влечет нормальность совместного распределения. Этот тезис не выполняется, на контрпример можно взглянуть тут.

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 : <math>\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n</math>.
 </blockquote>
+Из первого условия следует, что каждая из компонент нормальной векторной СВ имеет нормальное распределение (для компоненты  <math>i</math> это вытекает при  <math>a_i = 1</math> и остальных коэффициентах комбинации, равных 0). Отсюда часто возникает иллюзия, что нормальность распределений компонент влечет нормальность совместного распределения. Этот тезис не выполняется, на контрпример можно взглянуть [http://risktheory.ru/topic_normmarg.htm тут].
 [[Category:ММ РУиС (дисциплина)‎]]

Моделирование коррелированных гауссовых СВ — различия между версиями

Версия 14:46, 21 августа 2013

Многомерная нормальная СВ или вектор случайных величин?

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

SRNS Wiki

Рабочие журналы

Приватный файлсервер

QNAP Сервер

Инструменты